Question

（2009遼寧卷理）（本小題滿分12分）

如圖，已知兩個正方行ABCD 和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點  。

（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正值弦；

（II）用反證法證明：直線ME 與 BN 是兩條異面直線。       

Answer 1

（I）解法一：

取CD的中點G，連接MG，NG。

設正方形ABCD，DCEF的邊長為2，                

則MG⊥CD，MG=2，NG=.

因為平面ABCD⊥平面DCED，

所以MG⊥平面DCEF，

可得∠MNG是MN與平面DCEF所成的角。因為MN=，所以sin∠MNG=為MN與平面DCEF所成角的正弦值                                          ……6分

解法二：

  設正方形ABCD，DCEF的邊長為2，以D為坐標原點，分別以射線DC，DF，DA為x,y,z軸正半軸建立空間直角坐標系如圖.

則M（1,0,2）,N(0,1,0),可得=(－1,1,2).                      

又=（0，0，2）為平面DCEF的法向量，

可得cos(,)=·                

所以MN與平面DCEF所成角的正弦值為

cos·                                         ……6分

(Ⅱ)假設直線ME與BN共面，                                       ……8分

則AB平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN

由已知，兩正方形不共面，故AB平面DCEF。

又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，

所以AB//EN。

又AB//CD//EF，

所以EN//EF，這與EN∩EF=E矛盾，故假設不成立。

所以ME與BN不共面，它們是異面直線.                                  ……12分