Question

在平面直角坐標系xOy中，過定點C（p，0）作直線與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A，B兩點，如圖，設動點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求證：y₁y₂為定值；
（Ⅱ）若點D是點C關于坐標原點O的對稱點，求△ADB面積的最小值；
（Ⅲ）是否存在平行于y軸的定直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分情況討論：當直線AB垂直于x軸時，計算得y₁y₂=-2p²；當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的方程為：y=k（x-p），代入拋物線方程得ky²-2py-2p²k=0，因此有y₁y₂=-2p²為定值．

（II）D（-p，0），DC=2p，S△ADB=

1

2

DC|y1-y2|，當AB⊥x軸時，S△ADB=

1

2

×2p×2

2

p=2

2

p2．當直線AB不垂直x軸時，y1+y2=

2p

k

，|y1-y2|=

(y1-y2)2-4y1y2

，由此能求出△ADB面積的最小值．
（III）設存在平行于y軸的直線l，方程為x=t，M（x₁，y₁），圓心為C（x₀，y₀），l被圓C截得的弦長為q，則由圓的幾何性質可得 q=2

( |MA| 2 )2-(x0-t)2

=2

(x1-p)2+ y 2 1 4 -( x1+p 2 -t)2

=2

(t- p 2 )x1+pt-t2

．由此能求出存在直線l，其方程為 x=

p

2

．

解答：解：（Ⅰ）當直線AB垂直于x軸時，y₁=

2

p，y₂=-

2

p，因此y₁y₂=-2p²
（定值）；…．（1分）
當直線AB不垂直于x軸時，設直線AB的方程為：y=k（x-p），代入拋物線方程得；
ky²-2py-2p²k=0
因此有y₁y₂=-2p²為定值．…（4分）
（Ⅱ）D（-p，0），∴DC=2p，
S△ADB=

1

2

DC|y1-y2|，
當AB⊥x軸時，S△ADB=

1

2

×2p×2

2

p=2

2

p2．
當直線AB不垂直x軸時，
y1+y2=

2p

k

，
∴|y1-y2|=

(y1-y2)2-4y1y2

=

4p2 k2 +8p2

＞2

2

p，
∴S△AD＞2

2

p，
綜上所述，△ADB面積的最小值是2

2

p．
（III）設存在平行于y軸的直線l，方程為x=t，M（x₁，y₁），圓心為C（x₀，y₀）
l被圓C截得的弦長為q，則由圓的幾何性質可得：
q=2

( |MA| 2 )2-(x0-t)2

=2

(x1-p)2+ y 2 1 4 -( x1+p 2 -t)2

=2

(t- p 2 )x1+pt-t2

當 t=

p

2

時，q=p為定值
故存在這樣的直線l，其方程為 x=

p

2

（12分）

點評：本題考查弦長的計算和直線與拋物線位置關系的綜合運用，解題時要注意分類討論思想和弦長公式的合理運用，注意合理地進行等價轉化．