Question

已知定義在R上的奇函數f（x），當x＞0時，f（x）=．
（Ⅰ）當a=時，討論f（x），在（-∞，0）上的單調性；
（Ⅱ）若f（x），在（-∞，0）上為單調遞減函數，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=時，設x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0時，f（x）=，
∴f（-x）=
∵f（x）是奇函數，∴f（x）=-（x＜0）
∴f′（x）=--
令f′（x）＜0，可得x＞-1；令f′（x）＞0，可得x＜-1
∴函數在（-∞，-1）上單調遞增，在（-1，0）上單調遞減；
（Ⅱ）x＜0時，f（x）=-
∴f′（x）=--
∵f（x）在（-∞，0）上為單調遞減函數，
∴--≤0在（-∞，0）上恒成立
∴≥-在（-∞，0）上恒成立
∵-=≤1
∴≥1，
∴a≥2．
分析：（Ⅰ）先確定x＜0時函數的解析式，再利用導數，即可求得函數的單調區間；
（Ⅱ）先確定x＜0時函數的解析式，再利用f（x）在（-∞，0）上為單調遞減函數，建立不等式，分離參數，即可確定a的取值范圍．
點評：本題考查函數解析式的確定，考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，綜合性強．