Question

(1)已知數(shù)列{a_n},其中c_n=2ⁿ+3ⁿ,且數(shù)列{c_n+1-pc_n}為等比數(shù)列,求常數(shù)p;

(2)設(shè){a_n}、{b_n}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列,c_n=a_n+b_n,證明數(shù)列{c_n}不是等比數(shù)列.

   

Answer 1

思路分析：(1)如果數(shù)列{c_n+1-pc_n}為等比數(shù)列,則必有c₂-pc₁,c₃-pc₂,c₄-pc₃成等比數(shù)列.由此,可以求出p的值,然后證明所求p值符合題意.

(2)否定式的命題,常用反證法來(lái)證明,即假設(shè)數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列,然后設(shè)法推出矛盾.我們可以試著從幾個(gè)特殊值c₁,c₂,c₃來(lái)推出矛盾.

(1)解:因?yàn)閧c_n+1-pc_n}是等比數(shù)列,

    故有c₂-pc₁,c₃-pc₂,c₄-pc₃成等比數(shù)列,

    所以(c₃-pc₂)²=(c₂-pc₁)(c₄-pc₃),

    即(35-13p)²=(13-5p)(97-35p).

    解得p=2或p=3.

    當(dāng)p=2時(shí),c_n+1-pc_n=(2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹)-2(2ⁿ+3ⁿ)=3ⁿ,符合題意;

    當(dāng)p=3時(shí),c_n+1-pc_n=(2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹)-3(2ⁿ+3ⁿ)=-2ⁿ,也符合題意;

∴p=2或p=3.

(2)證明:假設(shè)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列,

    設(shè){a_n},{b_n}的公比分別為p,q,p≠q,

    則c₂²=c₁·c₃,

    即(a₁p+b₁q)²=(a₁+b₁)(a₁p²+b₁q²),

    得(p-q)²=0.

∴p=q,這與p≠q矛盾,故數(shù)列{c_n}不是等比數(shù)列.