Question

 (I)求函數的單調區間；

  (Ⅱ)函數在區間[1，2]上是否有零點，若有，求出零點，若沒有，請說明理由；

  (Ⅲ)若任意的∈(1，2)且≠，證明：(注：

Answer 1

解：.                        

（Ⅰ） .   ……………2分    

，，

在區間和上，；在區間上，

故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是. …………4分

（Ⅱ）先求在的最大值.

由（Ⅰ）可知，

 當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

故.………………6分

由可知，，，

所以，，，                 

故不存在符合條件的，使得.   ………………8分                                 

（Ⅲ）當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

只需證明，都成立，

也可得證命題成立．………………10分        

設，，

在上是減函數，

設，

在上是增函數，

綜上述命題成立. ………………12分   

另解:

當時，，

在上單調遞減，在上單調遞增，

， ，

，，.………10分

由導數的幾何意義有

對任意，

．…………12分