Question

某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關系式，其中3＜x＜6，a為常數，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

Answer 1

【答案】分析：（I）由f（5）=11代入函數的解析式，解關于a的方程，可得a值；
（II）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數為關于x的三次多項式函數，再用求導數的方法討論函數的單調性，得出函數的極大值點，從而得出最大值對應的x值．
解答：解：（I）因為x=5時，y=11，所以+10=11，故a=2
（II）由（I）可知，該商品每日的銷售量y=
所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為

從而，f′（x）=10[（x-6）²+2（x-3）（x-6）]=30（x-6）（x-4）
于是，當x變化時，f（x）、f′（x）的變化情況如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f'（x）	+		-
f（x）	單調遞增	極大值42	單調遞減

由上表可得，x=4是函數f（x）在區間（3，6）內的極大值點，也是最大值點．
所以，當x=4時，函數f（x）取得最大值，且最大值等于42
答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
點評：本題函數解析式的建立比較容易，考查的重點是利用導數解決生活中的優化問題，屬于中檔題．