Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．勤于思考的小紅設(shè)計(jì)了下面兩種解題思路，請你選擇其中一種并將其補(bǔ)充完整．

思路1：先設(shè)的值為1，根據(jù)已知條件，計(jì)算出_________， __________， _________．

猜想： _______.

然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．證明過程如下：

①當(dāng)時(shí)，________________，猜想成立

②假設(shè)（N*）時(shí)，猜想成立，即_______．

那么，當(dāng)時(shí)，由已知，得_________．

又，兩式相減并化簡，得_____________（用含的代數(shù)式表示）．

所以，當(dāng)時(shí)，猜想也成立．

根據(jù)①和②，可知猜想對任何N*都成立．

思路2：先設(shè)的值為1，根據(jù)已知條件，計(jì)算出_____________．

由已知，寫出與的關(guān)系式： _____________________，

兩式相減，得與的遞推關(guān)系式： ____________________．

整理： ____________．

發(fā)現(xiàn)：數(shù)列是首項(xiàng)為________，公比為_______的等比數(shù)列．

得出：數(shù)列的通項(xiàng)公式____，進(jìn)而得到____________．

Answer 1

【答案】 2 2

【解析】試題分析：思路1.由于，令，可求出的值，再令 ，可求出的值，再令，可求出的值，利用不完全歸納法，歸納猜想出，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明, 這是一種“歸納—猜想—證明”思維方式，從特殊到一般的歸納推理方式；思路2.采用構(gòu)造法直接求出數(shù)列得通項(xiàng)公式.

試題解析：思路1.由于，令， ；令 ， ， ，令 ， ，則

，由此猜想 ；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明過程如下：

①當(dāng)時(shí)， ，得 ，符合 ，猜想成立.

②假設(shè)（N*）時(shí)，猜想成立，即,

那么，當(dāng)時(shí)，由已知，得 ,

又，兩式相減并化簡，得 ， （用含的代數(shù)式表示）．所以，當(dāng)時(shí)，猜想也成立．

根據(jù)①和②，可知猜想對任何N*都成立．

思路2. 先設(shè)的值為1，根據(jù)已知條件，計(jì)算出，

由已知，寫出與的關(guān)系式： ，

兩式相減，得與的遞推關(guān)系式： ，

整理： ，

發(fā)現(xiàn)：數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．

得出：數(shù)列的通項(xiàng)公式 ，進(jìn)而得到 ．