Question

已知實(shí)數(shù)a＞0，函數(shù)f(x)=

1-x2 1+x2

+a

1+x2 1-x2

．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（3）求實(shí)數(shù)a的范圍，使得對(duì)于區(qū)間[-

2 5

5

，

2 5

5

]上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）為邊長(zhǎng)的三角形．

Answer 1

分析：（1）判斷f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），且f（x）為偶函數(shù)，a=1時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求f（x）的最小值；
（2）先化簡(jiǎn)函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，再利用定義進(jìn)行證明；
（3）換元，原問(wèn)題等價(jià)于求實(shí)數(shù)a的范圍，使得在區(qū)間[

1

3

，1]上，恒有2y_min＞y_max．

解答：解：由題意，f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），且f（x）為偶函數(shù)．
（1）a=1時(shí)，f(x)=

1-x2 1+x2

+

1+x2 1-x2

=

2

1-x4

…（2分）
∴x=0時(shí)，f(x)=

1-x2 1+x2

+

1+x2 1-x2

最小值為2．…（4分）
（2）a=1時(shí)，f(x)=

1-x2 1+x2

+

1+x2 1-x2

=

2

1-x4

∴x∈[0，1）時(shí)，f（x）遞增；x∈（-1，0]時(shí)，f（x）遞減； …（6分）
由于f（x）為偶函數(shù)，
∴只對(duì)x∈[0，1）時(shí)，說(shuō)明f（x）遞增．
設(shè)0≤x₁＜x₂＜1，
∴

1- x 4 1

＞

1- x 4 2

＞0，得

1

1- x 4 1

＜

1

1- x 4 2

f(x1)-f(x2)=

1

1- x 4 1

-

1

1- x 4 2

＜0
∴x∈[0，1）時(shí)，f（x）遞增；  …（10分）
（3）設(shè)t=

1-x2 1+x2

，則
∵x∈[-

2 5

5

，

2 5

5

]，
∴t∈[

1

3

，1]，∴y=t+

a

t

(

1

3

≤t≤1)
從而原問(wèn)題等價(jià)于求實(shí)數(shù)a的范圍，使得在區(qū)間[

1

3

，1]上，恒有2y_min＞y_max．…（11分）
①當(dāng)0＜a≤

1

9

時(shí)，y=t+

a

t

在[

1

3

，1]上單調(diào)遞增，∴ymin=3a+

1

3

，ymax=a+1，由2y_min＞y_max得a＞

1

15

，
從而

1

15

＜a≤

1

9

；  …（12分）
②當(dāng)

1

9

＜a≤

1

3

時(shí)，y=t+

a

t

在[

1

3

，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，1]上單調(diào)遞增，∴ymin=2

a

，ymax=max{3a+

1

3

，a+1}=a+1，
由2y_min＞y_max得7-4

3

＜a＜7+4

3

，從而

1

9

＜a≤

1

3

；…（13分）
③當(dāng)

1

3

＜a＜1時(shí)，y=t+

a

t

在[

1

3

，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，1]上單調(diào)遞增，∴ymin=2

a

，ymax=max{3a+

1

3

，a+1}=3a+

1

3

，
由2y_min＞y_max得

7-4 3

9

＜a＜

7+4 3

9

，從而

1

3

＜a＜1；  …（14分）
④當(dāng)a≥1時(shí)，y=t+

a

t

在[

1

3

，1]上單調(diào)遞減，∴ymin=a+1，ymax=3a+

1

3

，
由2y_min＞y_max得a＜

5

3

，從而1≤a＜

5

3

；…（15分）
綜上，

1

15

＜a＜

5

3

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于難題．