Question

（本小題滿分16分）
已知函數
（1）若函數在處的切線方程為，求的值；
（2）任取，且，恒有，求的取值范圍；
（3）討論方程的解的個數，并說明理由。

Answer 1

（1）
，解得，切點為代入直線方程解得…………………………4分
（2）不妨假設，則，所以   （*）
令
則（*）等價于函數在區間上為單調減函數
即等價于，不等式恒成立
解得：…………………………………………………………………………………………………9分
（3）令（

①當時，在上，，函數在上為增函數且當時，，當時，
由此的圖象與軸有且僅有一個公共點，即方程有且僅有一個實根。
②當時，方程有兩個不相等的實數根，并且一個正根一個負根，不妨設正根為
則當時，，為單調遞減函數；當時，，為單調遞增函數，故函數有最小值
（ⅰ）當時，有且只有一個實數根，即方程有且僅有一個實根。
此時有，變形得（**）
構造函數在上為單調增函數，方程（**）等價于
解得，代入原方程組，解得
（ⅱ）當時，，

所以方程無實數根，即方程沒有實數根
（ⅰⅱ）當時，類似可以求得
所以方程有兩個實數根，即方程有兩個實數根
綜上，當或時，方程有且僅有一個實根
當時，方程沒有實數根
當時，方程有兩個實數根………………………………………………16分

略