Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x²+ax+b,g（x）=x³+x²+ 1nx+b，（a，b為常數(shù)）．
（1）若g（x）在x=l處的切線方程為y=kx－5（k為常數(shù)），求b的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f’（x），若存在唯一的實數(shù)x₀，使得f（x₀）=x₀與f′（x₀）=0同時成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）令F（x）=f（x）－g（x），若函數(shù)F（x）存在極值，且所有極值之和大于5+1n2，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）；（3）

試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求 ,利用,然后將代入，求出`,此點也在函數(shù)f(x)上，代入，即可求出;
（2）根據(jù),消去,得到關(guān)于的三次方程，，此方程有唯一解，令，求出,利用導(dǎo)數(shù)求出極值點，以及兩側(cè)的單調(diào)性，從而分析圖像，得到的取值范圍；
（3），因為存在極值，所以在上有根即方程在上有根．得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入極值,得到的取值范圍.
試題解析：（1）∵ 所以直線的，當(dāng)時，，將（1，6）代入，得．       4分
（2） ，由題意知消去，
得有唯一解．
令，則，       6分
所以在區(qū)間上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
又，故實數(shù)的取值范圍是．   9分
（3）
因為存在極值，所以在上有根即方程在上有根．        10分
記方程的兩根為由韋達定理，所以方程的根必為兩不等正根．         12分

 所以滿足方程判別式大于零
故所求取值范圍為            14分