Question

【題目】若函數f（x）滿足：f（﹣x）+f（x）=ex+e﹣x ， 則稱f（x）為“e函數”．
（1）試判斷f（x）=ex+x3是否為“e函數”，并說明理由；
（2）若f（x）為“e函數”且 ，
（ⅰ）求證：f（x）的零點在 上；
（ⅱ）求證：對任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣x）+f（x）=e﹣x﹣x3+ex+x3=ex+e﹣x，

∴f（x）為“e函數”

（2）證明：∵f（﹣x）+f（x）=ex+e﹣x①，

②

∴①+②得： ，∴ ．

（ⅰ）∵y=ex與 均為增函數，∴f（x）在（0，+∞）上為贈函數，

又ex＞0，∴f（x）的唯一零點必在（0，+∞）上．

∵f（ ）= ﹣2= ﹣2＜0，f（2）=e2﹣ ＞0，

∴f（x）的唯一零點在（ ，2）上．

（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）的零點x0∈（ ，2），且f（x0）=0，

又f（x）在（0，+∞）上為增函數，∴f（x）＜0在（0，x0）上恒成立，

∴對任意a＞0，存在λ= ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立

【解析】（1）由f（﹣x）+f（x）=ex+e﹣x ， 可判斷f（x）=ex+x3是“e函數”；（2）若f（x）為“e函數”且 ，（ⅰ）由于y=ex與 均為增函數，可知f（x）在（0，+∞）上為增函數，通過計算知f（ ）= ﹣2＜0，f（2）=e2﹣ ＞0，利用零點存在定理即可證得：f（x）的零點在 上；（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）的零點x0∈（ ，2），且f（x0）=0，從而可證：對任意a＞0，存在λ＞0，使f（x）＜0在（0，λa）上恒成立．