Question

已知函數f（x）=x（x-a）（x-b），點A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（1）若a=0，b=3，函數f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，求t的取值范圍；
（2）當a=0時，

f(x)

x

+lnx+1≥0對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，求b的取值范圍；
（3）若0＜a＜b，函數f（x）在x=s和x=t處取得極值，且a+b＜2

3

，O是坐標原點，證明：直線OA與直線OB不可能垂直．

Answer 1

分析：（1）只要具體求出函數的極值點，讓兩個極值點在區間（t，t+3）即可；（2）把參數b分離出來，轉化為求函數的最值；（3）把s，t用a，b表示，在假設垂直的條件下即可得到a，b的關系式，根據不等式只要證明a+b≥2

3

，即可根據反證法原理得到所證明的結論．考點：導數及其應用．

解答：（1）當a=0，b=3時，f（x）=x³-3x²，f'（x）=3x²-6x，令f'（x）=0得x=0，2，根據導數的符號可以得出函數f（x）在x=0處取得極大值，在x=2處取得極小值．函數f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，則只要t＜0且t+3＞2即可，即只要-1＜t＜0即可．所以t的取值范圍是（-1，0）．（4分）
（2）當a=0時，

f(x)

x

+lnx+1≥0對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，即x²-bx+lnx+1≥0對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立，也即b≤x+

lnx

x

+

1

x

在對任意的x∈[

1

2

，+∞)恒成立．令g(x)=x+

lnx

x

+

1

x

，
則g′(x)=1+

1-lnx

x2

-

1

x2

=

x2-lnx

x2

．
記m（x）=x²-lnx，則m′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

，則這個函數在其定義域內有唯一的極小值點x=

2

2

，故也是最小值點，所以m(x)≥m(

2

2

)=

1

2

-ln

2

2

＞0，從而g'（x）＞0，所以函數g（x）在[

1

2

，+∞)單調遞增．函數g(x)min=g(

1

2

)=

5

2

-2ln2．故只要b≤

5

2

-2ln2即可．所以b的取值范圍是(-∞，

5

2

-2ln2]．（8分）
（3）假設

OA

⊥

OB

，即

OA

•

OB

=0，即（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0，故（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1，即[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1．
由于s，t是方程f'（x）=0的兩個根，故s+t=

2

3

(a+b)，st=

ab

3

，0＜a＜b．
代入上式得ab（a-b）²=9.(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12，即a+b≥2

3

，與a+b＜2

3

矛盾，所以直線OA與直線OB不可能垂直．

點評：本題綜合考查導數研究函數極值、單調性、最值等，考查反證法思想在解題中的應用．本題的難點是第三問，其關鍵是在等式（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1中，通過配項可以使用韋達定理消掉s，t得到關于a，b的等式，本題這個地方的技巧是極高的．