Question

設P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函數f(x)=

2x

2x+ 2

圖象上的兩點，且

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，點P的橫坐標為

1

2

．
（1）求證：P點的縱坐標為定值，并求出這個定值；
（2）若Sn=

n

i=1

f(

i

n

)，n∈N*，求S_n；
（3）記T_n為數列{

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

}的前n項和，若Tn＜a(Sn+1+

2

)對一切n∈N^*都成立，試求a的取值范圍．
①an-1+1=

an

n

；
②(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)(1+

1

a3

)…(1+

1

an

)≤3-

1

n

Answer 1

分析：（1）由

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)得到P是P₁P₂的中點?x₁+x₂=1?y₁+y₂=1得到y_p即可；
（2）由（1）知x₁+x₂=1，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，而Sn=f(

1

n

) +f(

2

n

) +…+f(

n-1

n

) +f(

n

n

)能寫成Sn=f(

n

n

) +f(

n-1

n

)+…+f(

2

n

)  +f(

1

n

)，兩者相加可得S_n；
（3）先表示T_n的同項公式，求出之和，根據Tn＜a(Sn+1+

2

)利用基本不等式求出a的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，
∴P是P₁P₂的中點?x₁+x₂=1y1+y2=f(x1)+f(x2)=

2x1

2x1+ 2

+

2x2

2x2+ 2

=

2x1

2x1+ 2

+

21-x1

21-x1+ 2

=

2X1

2X1+ 2

+

2

2X1+ 2

=1
∴yp=

1

2

(y1+y2)=

1

2

（2）由（1）知x₁+x₂=1，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，f(1)=2-

2

，Sn=f(

1

n

) +f(

2

n

) +…+f(

n-1

n

) +f(

n

n

)，Sn=f(

n

n

) +f(

n-1

n

)+…+f(

2

n

)  +f(

1

n

)
相加得2Sn=f(n)+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)] +[f(

2

n

)+f(

n-2

n

)]+…+[f(

n-1

n

)+f(

1

n

)] +f(1)=2f（1）+1+1+…+1=n+3-2

2

（n-1個1）
∴Sn=

n+3-2 2

2

（3）

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

=

1

n+3 2 • n+4 2

=

4

(n+3)(n+4)

=4(

1

n+3

-

1

n+4

)
Tn=4[(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+3

-

1

n+4

)] =

n

n+4

Tn＜a(Sn+1+

2

)?a＞

Tn

Sn+1+ 2

=

2n

(n+4)2

=

2

n+ 16 n +8

∵n+

16

n

≥8，當且僅當n=4時，取“=”
∴

2

n+ 16 n +8

≤

2

8+8

=

1

8

，因此，a＞

1

8

點評：考查學生運用數列及數列求和的能力，理解掌握指數函數性質的能力，以及會用基本不等式證明的能力．