Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：（a＞b＞0）的離心率為，一條準線方程為x=4．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M，設直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得得，解出即可；
（2）設P（x，y）（y≠0），即可得出直線AP的方程，令x=2，即可得到點M的坐標，利用斜率計算公式即可得出k₁，k₂，再利用點P在橢圓上即可證明．
解答：解：（1）由題意得，解得，∴橢圓E的標準方程為．
（2）設P（x，y）（y≠0），
則直線AP的方程為：y=（x+2）
令x=2得M（2，）
∴k₁=，
∵k₂=，
∴k₁k₂=，
∵P（x，y）在橢圓上，∴=1
∴k₁k₂═-為定值．
點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線的斜率公式等是解題的關鍵．