Question

     （本小題12分）

如圖3，已知在側棱垂直于底面

的三棱柱中，AC=BC, AC⊥BC,點D是A₁B₁中點.

(1)求證：平面AC₁D⊥平面A₁ABB_1;

(2)若AC₁與平面A₁ABB₁所成角的正弦值

為，求二面角D- AC₁-A₁的余弦值.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）據題意A₁C₁=B₁C₁,

且D為A₁B₁中點

∴C₁D⊥A₁B₁, 又BB₁⊥面A₁B₁C₁, C₁D 面A₁B₁C₁，

∴BB₁⊥C₁D, ∴ C₁D⊥面A₁ABB₁, …………2分

又C₁D 面AC₁D

∴面AC₁D⊥平面A₁ABB₁………………………4分

      （2）由（1）知C₁D⊥面A₁ABB₁,

∴∠ C₁AD為AC₁與平面A₁ABB₁所成的角……6分

設AC=CB=1,AA₁=x,則AC₁=,C₁D=

sin∠ C₁AD=, ∴x=2.    …………………8分

又因為AC、CB、CC₁兩兩互相垂直，所以可建立如圖所示的坐標系：

取面A₁C₁A的法向量為，設面ADC₁的法向量為，又C₁(0,0,2),A(1,0,0),D(1/2,1/2,2),

 ∴,,=0, ∴x-2z=0

=0 ,∴x+y=0 , 取z=1,則x=2,y=-2, ∴

 ………………………………11分

又D在面A₁AC₁上的射影為A₁C₁的中點，故二面角D- AC₁-A₁為銳角，

設為 ，所以   …………………………………………12分

 

【解析】略