Question

設(shè)，且α，β滿足
（1）求的值．
（2）求cos（α+β）的值．

Answer 1

解：（1）∵5sinα+5cosα=8，
∴10（sinα+cosα）=8，即sin（α+）=，（3分）
∵α∈（0，），∴α+∈（，），
∴cos（α+）==；（4分）
（2）又∵sinβ+cosβ=2，
∴2（sinβ+cosβ）=2，即sin（β+）=，（6分）
∵β∈（，），∴β+∈（，），
∴cos（β+）=-，（7分）
∴cos（α+β）=sin[+（α+β）]=sin[（α+）+（β+）]
=sin（α+）cos（β+）+cos（α+）sin（β+）
=×（-）+×=-．（12分）
分析：（1）將等式5sinα+5cosα=8左邊提取10，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值求出sin（α+）的值，由α的范圍求出α+的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡即可求出cos（α+）的值；
（2）等式sinβ+cosβ=2左邊提取2，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，求出sin（β+）的值，由β的范圍求出β+的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（β+）的值，將所求式子利用誘導(dǎo)公式sin（+θ）=cosθ變形，其中的角+α+β變形為（α+）+（β+），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值．
點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式，靈活變換角度是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意角度的范圍．本題中靈活運(yùn)用角的變換的技巧達(dá)到了用已知表示未知，在求值題中，這是一個(gè)重要的經(jīng)驗(yàn)！