Question

如圖，假設平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別是B、D，如果增加一個條件，就能推出BD⊥EF，現(xiàn)有下面4個條件：
①AC⊥β；
②AC與α、β所成的角相等；
③AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；
④AC∥EF．
其中能成為增加條件的是

①③

．（把你認為正確的條件的序號都填上）

Answer 1

分析：假設BD⊥EF，由條件AB⊥α，CD⊥α得AB⊥EF，CD⊥EF，則只需證明EF⊥面ABDC即可．

解答：解：①若AC⊥β，則AC⊥EF，由AB⊥α的AB⊥EF，因為AB∩AC=A，所以EF⊥面ABDC，所以BD⊥EF．正確．
②當AC∥EF時，滿足AC與α、β所成的角相等，但此時無法得到EF⊥面ABDC，所以錯誤．
③因為AB⊥α，CD⊥α所以AB∥CD．若AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；則必有面ABDC⊥β，所以EF⊥面ABDC成立．
④若AC∥EF，則AC∥β，且AC∥α，所以AC∥BD，從而EF∥BD，所以④錯誤．
故答案為：①③．

點評：本題主要考查線面垂直的判斷和性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．