Question

設命題P：底面是等邊三角形，側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐；命題Q：在△ABC中A＞B是cos²（

A

2

+

π

4

）＜cos²（

B

2

+

π

4

）成立的必要非充分條件，則（　　）

A．P真Q假

B．P且Q為真

C．P或Q為假

D．P假Q真

Answer 1

分析：對于命題P，從正三棱錐的定義出發，結合正三棱錐的性質，對命題進行判斷，即可解答；對于命題Q應先對三角形式進行降冪，然后利用三角函數的單調性找到變量∠A、∠B的關系．

解答：解：由命題P：底面是等邊三角形，側面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐，
由于側面與底面所成的二面角都相等，可推出底面中心等于是棱錐頂點在底面的射影，所以命題P為真命題．
由命題Q知，若cos²（

A

2

+

π

4

）＜cos²（

B

2

+

π

4

），即sinA＞sinB，∴∠A＞∠B；
反之，在三角形中若∠A＞∠B則必有sinA＞sinB，即cos²（

A

2

+

π

4

）＜cos²（

B

2

+

π

4

）成立，所以命題Q為假命題．
故選A．

點評：此題考查的是命題真假、多面體和三角不等式的綜合問題．在解答過程中要充分體會正棱錐要求，三角恒等變換知識的應用以及命題真假判斷的規律．此題屬于較綜合類題目，值得同學們總結歸納．