Question

（2012•紹興一模）設{a_n}是首項為1的正項數列，且(n+1)

a

2 n+1

-n

a

2 n

+an+1•an=0(n∈N*)．
（1）求它的通項公式；
（2）求數列{

an

n+1

}的前n和S_n．

Answer 1

分析：（1）解法一、由(n+1)

a

2 n+1

-n

a

2 n

+an+1•an=0，兩邊同除以a_n²，得(n+1)(

an+1

an

)2+

an+1

an

-n=0，從而

an+1

an

=

n

n+1

，再利用累積法求得通項公式
解法二、由(n+1)

a

2 n+1

-n

a

2 n

+an+1•an=0分解因式得出[(n+1)

a

n+1

-n

a

n

]•(an+1+an)=0，（n+1）a_n+1=na_n，再同法一求解．
（2）由（1）知，

an

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項求和法解決．

解答：解：（1）解法一、由(n+1)

a

2 n+1

-n

a

2 n

+an+1•an=0得，(n+1)(

an+1

an

)2+

an+1

an

-n=0…（2分）
∵a_n＞0，∴

an+1

an

=

n

n+1

…（2分）
則  a n=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1=(

n-1

n

)•(

n-2

n-1

)…(

1

2

)a1=

1

n

…（4分）
解法二、由(n+1)

a

2 n+1

-n

a

2 n

+an+1•an=0得，[(n+1)

a

n+1

-n

a

n

]•(an+1+an)=0…（2分）
∵a_n＞0，∴（n+1）a_n+1=na_n…（2分）
則  na_n=（n-1）a_n-1=…=1•a₁=1
∴an=

1

n

…（4分）
（2）由（1）知，

an

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（3分）
∴Sn=

a1

2

+

a2

3

+…+

an

n+1

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

n

n+1

…（3分）

點評：本題主要考查了數列的遞推公式和通項公式．考查了學生轉化計算的能力，考查了累積法求通項、裂項求和法