Question

記定義在[-1，1]上的函數f（x）=x²+px+q（p，q∈R）的最大值與最小值分別為M，m．又記h（p）=M-m．
（Ⅰ）當0≤p≤2時，求M、m（用p，q表示），并證明h（p）≥1；
（Ⅱ）寫出h（p）的解析式（不必寫出求解過程）；
（Ⅲ）在所有形如題設的函數f（x）中，求出這樣的f（x），使得|f（x）|的最大值為最小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據每件，又f（x）圖象開口向上，得出最大值與最小值，從而求得h（p）并證明h（p）≥1；
（Ⅱ）對字母p進行分類討論后寫出出h（p）的解析式即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知h（p）的解析式，結合M-m≥1及取得最值的條件得出，p=0，M=1+q，m=q．最后結合由M=-m得1+q=-q求得q，最后寫出所求函數式即可．
解答：解：（Ⅰ），又f（x）圖象開口向上，
∴
∴（4分）
（Ⅱ）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴M-m≥1．
∵在[-1，1]上，總有，當且僅當M=-m時取”=”；
又，，當且僅當p=0時取“=”，
∴當時的f（x）符合條件．
此時，p=0，M=1+q，m=q．由M=-m得1+q=-q．∴
即所求函數為：f（x）=．（13分）
點評：本小題主要考查函數解析式的求解及常用方法、函數的最值及其幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．