Question

已知是實數，函數，和，分別是的導函數，若在區間上恒成立，則稱和在區間上單調性一致．

（Ⅰ）設，若函數和在區間上單調性一致，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）設且，若函數和在以為端點的開區間上單調性一致，求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由不等式恒成立，即可求出結果. （Ⅱ）在以為端點的開區間上恒成立，對的大小分類討論，以確定的取值范圍，從而去確定的最大值.

試題解析：由已知，，，；

（Ⅰ）由題設“單調性一致”定義知，在區間上恒成立，

即 在區間上恒成立，

因，所以，所以，在區間上恒成立，

即在區間上恒成立，而在上最大值

所以，，即；

（Ⅱ）由“單調性一致”定義知，在以為端點的開區間上恒成立，

即在以為端點的開區間上恒成立，

因，所以，由，得，，；

①若，則開區間為，取，由知，和在區間上單調性不一致，不符合題設；

②若，因均為非負，故不在以為端點的開區間內；所以，只有可能在區間上；

由在以為端點的區間上恒成立，知要么不小于中的大者，要么不大于中的小者；

因為都不大于0，所以，，所以，由知，所以；

當時，由在區間上恒成立，即在區間上恒成立，知最大值為，而由解得；

此時，，配方后知，取不到最大值；

當時，顯然，此時，當，即時，取得最大值；綜上，的最大值為.

考點：不等式恒成立、函數的最值、分類討論的思想.