Question

已知函數y=

2

x-1

，x∈[2，6]．試判斷此函數在x∈[2，6]上的單調性并求此函數在x∈[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：根據函數單調性的定義可知設x₁、x₂是區間[2，6]上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，從而得到f（x₁）與f（x₂）的大小，即可確定單調性，從而求出最值．

解答：解：設x₁、x₂是區間[2，6]上的任意兩個實數，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2[(x2-1)-(x1-1)]

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

．
由2＜x₁＜x₂＜6，得x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函數y=

2

x-1

是區間[2，6]上的減函數．
因此，函數y=

2

x-1

在區間的兩個端點上分別取得最大值與最小值，即當x=2時，y_max=2；當x=6時，y_min=

2

5

．

點評：本題主要考查了函數單調性的判定與證明，以及函數的最值及其幾何意義，解題的關鍵是化簡變形，屬于中檔題．