Question

設函數f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲線y＝f(x)在點P(1,0)處的切線斜率為2.

(1)求a，b的值；

(2)證明：f(x)≤2x－2.

 

Answer 1

(1) (2)見解析

【解析】(1)f′(x)＝1＋2ax＋，

由題設，y＝f(x)在點P(1,0)處切線的斜率為2.

∴解之得

因此實數a，b的值分別為－1和3.

(2)f(x)定義域(0，＋∞)，且f(x)＝x－x2＋3ln x.

設g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x，

則g′(x)＝－1－2x＋＝－.?

當0＜x＜1時，g′(x)＞0；當x＞1時，g′(x)＜0.

∴g(x)在(0,1)上單調遞增；在(1，＋∞)上單調減少．

∴g(x)在x＝1處有最大值g(1)＝0

故g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.