Question

(21)已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；

(Ⅱ)若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(A，B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意設橢圓的標準方程為=1(a＞b＞0)，

由已知得：a+c=3，a-c=1，

∴a=2，c=1，

∴b²=a²-c²=3.

∴橢圓的標準方程為=1.

(Ⅱ)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

聯立

得(3+4k²)x²+8mkx+4(m²-3)=0，

又y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+mk(x₁+x₂)+m²=，

因為以AB為直徑的圓過橢圓右頂點D(2，0)，

∴k_ACk_AD=-1，則= -1.

∴y₁y₂+x₁x₂-2(x₁+x₂)+4=0.

∴+4=0.

∴7m²+16mk+4k²=0.

解得：

m₁=-2k，m₂=，且均滿足3+4k²-m²＞0.

當m₁=-2k時，l的方程為y=k(x-2)，直線過定點(2，0)，與已知矛盾；

當m₂=時，l的方程為y=k(x)，直線過定點(，0).

所以，直線l過定點，定點坐標為(，0).