Question

已知函數y=f（x）是定義在R上恒不為0的單調函數，對任意的x，y∈R，總有f（x）f（y）=f（x+y）成立，若數列{a_n}的n項和為S_n，且滿足a₁=f（0），f(an+1)=

1	f(3n+1-2an)

（n∈N^*），則S_n=

 

．

Answer 1

分析：首先求出特殊值f（0），然后結合f（x）f（y）=f（x+y）把已知條件變形為a_n+1與a_n的關系式，進一步整理得數列{a_n+3ⁿ⁺¹}為等比數列，再運用等比數列通項公式求得a_n，最后分別運用等比數列前n項和公式求得S_n．

解答：解：因為任意的x，y∈R，總有f（x）f（y）=f（x+y）成立，
所以f（0）f（0）=f（0），即f（0）•（f（0）-1）=0，
解得f（0）=1，即a₁=1，
又f（a_n+1）•f（3ⁿ⁺¹-2a_n）=1，即f（a_n+1+3ⁿ⁺¹-2a_n）=f（0），
所以a_n+1+3ⁿ⁺¹-2a_n=0，
則a_n+1+3ⁿ⁺¹+2×3ⁿ⁺¹=2a_n+2×3ⁿ⁺¹，，即

an+1+3n+2

an+3n+1

=2，
所以數列{a_n+3ⁿ⁺¹}是首項為10，公比為2的等比數列，
則a_n+3ⁿ⁺¹=10×2^n-1，即a_n=5×2ⁿ-3ⁿ⁺¹，
所以S_n=5×

2(1-2n)

1-2

-

32(1-3n)

1-3

=5×2n+1-

3n+2+11

2

．
故答案為5×2n+1-

3n+2+11

2

．

點評：本題主要考查等比數列的定義、通項公式、前n項和公式，同時考查函數的單調性等．