Question

已知動圓C經過點(0，m) (m>0)，且與直線y＝－m相切，圓C被x軸截得弦長的最小值為1，記該圓的圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）是否存在曲線C與曲線E的一個公共點，使它們在該點處有相同的切線？若存在，求出切線方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）x²＝2y；（Ⅱ）存在題設的公共點B，其坐標為(±2，4)，公切線方程為y＝2(x－2)＋4或y＝－2 (x＋2)＋4，即y＝±2x－4．

試題分析：（Ⅰ）根據定義法確定軌跡為拋物線，然后借助圓C被x軸截得弦長的最小值為1求解參數m的值；（Ⅱ）假設存在題設的公共點B(b， b²)．利用圓的切線性質，以及利用導數的幾何意義求解拋物線的切線方程的斜率建立等量關系，求解b的值進行論證.
試題解析：（Ⅰ）依題意，曲線E是以(0，m)為焦點，以y＝－m為準線的拋物線．
曲線E的方程為x²＝4my．                                     2分
設動圓圓心為A(a，)，則圓C方程為(x－a)²＋(y－)²＝(＋m)²，
令y＝0，得(x－a)²＝＋m²．
當a＝0時，圓C被x軸截得弦長取得最小值2m，于是m＝，
故曲線E的方程為x²＝2y．                                        5分
（Ⅱ）假設存在題設的公共點B(b， b²)．
圓C方程為(x－a)²＋(y－a²)²＝(a²＋)²，
將點B坐標代入上式，并整理，得(b－a)²[1＋ (a＋b)²]＝ (a²＋1)²．① 7分
對y＝x²求導，得y¢＝x，則曲線E在點B處的切線斜率為b．
又直線AB的斜率k＝＝ (a＋b)．
由圓切線的性質，有 (a＋b)b＝－1．                        ②  8分
由①和②得b²(b²－8)＝0．
顯然b≠0，則b＝±2．                                        9分
所以存在題設的公共點B，其坐標為(±2，4)，公切線方程為
y＝2 (x－2)＋4或y＝－2 (x＋2)＋4，即y＝±2x－4．     12分