Question

【題目】已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x﹣1）2+y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C．
（1）求C的方程；
（2）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圓M：（x+1）2+y2=1，可知圓心M（﹣1，0）；圓N：（x﹣1）2+y2=9，圓心N（1，0），半徑3．

設動圓的半徑為R，

∵動圓P與圓M外切并與圓N內切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，

而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓，

∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．

∴曲線C的方程為 （x≠﹣2）．

（2）解：設曲線C上任意一點P（x，y），

由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，當且僅當⊙P的圓心為（2，0）R=2時，其半徑最大，其方程為（x﹣2）2+y2=4．

①l的傾斜角為90°，則l與y軸重合，可得|AB|=2 ．

②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，

設l與x軸的交點為Q，則 ，可得Q（﹣4，0），所以可設l：y=k（x+4），

由l于M相切可得： ，解得 ．

當 時，聯立 ，得到7x2+8x﹣8=0．

∴ ， ．

∴|AB|= = =

由于對稱性可知：當 時，也有|AB|= ．

綜上可知：|AB|=2 或 ．

【解析】（1）設動圓的半徑為R，由已知動圓P與圓M外切并與圓N內切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由橢圓的定義可知：動點P的軌跡是以M，N為焦點，4為長軸長的橢圓，求出即可；（2）設曲線C上任意一點P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R≤2，當且僅當⊙P的圓心為（2，0）R=2時，其半徑最大，其方程為（x﹣2）2+y2=4．分①l的傾斜角為90°，此時l與y軸重合，可得|AB|．②若l的傾斜角不為90°，由于⊙M的半徑1≠R，可知l與x軸不平行，設l與x軸的交點為Q，根據 ，可得Q（﹣4，0），所以可設l：y=k（x+4），與橢圓的方程聯立，得到根與系數的關系利用弦長公式即可得出．