Question

在如圖所示的數表中，第i行第j列的數記為a_i，j，且滿足a_1，j=2^j-1，a_i，1=i，a_i+1，j+1=a_i，j+a_i+1，j（i，j∈N^*）；又記第3行的數3，5，8，13，22，39，…．則第3行第n個數為

2^n-1+n+1

．

Answer 1

分析：由數表中各數滿足的遞推式可以得出，該數表中第一行的數構成以1為首項，以2為公比的等比數列，第一列的數，都是該數所在的行數，且數表中的每一個數都是它左邊的數與上一行左邊的數的和，據此可以得出第三行中的數與第二行及第一行對應數之間的關系．

解答：解：由題目給出的a1•j=2j-1可知，數表中的第一行第n列的數滿足an=2n-1，
第二行中的每一個數是第一行中同列的數加1，所以，第二行中第n列的數為bn=2n-1+1，
第三行中每列的數是在第二行中同列的數的基礎上加列數，故第三行中第n列的數為c_n=b_n+n，
即cn=2n-1+1+n．
所以，第3行第n個數為2^n-1+n+1．
故答案為2^n-1+n+1．

點評：本題給出等差、等比數列模型，求數表中第3行的通項公式，著重考查了等差、等比數列的通項公式和數列的函數特性，解答的關鍵是對給出的數表進行規律性的總結，屬于中檔題．