Question

A．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，弧AB=弧AD，過A點的切線交CB的延長線于E點．
求證：AB²=BE•CD．
B．已知矩陣M所對應的線性變換把點A（x，y）變成點A′（13，5），試求M的逆矩陣及點A的坐標．
C．已知圓的極坐標方程為：．
（1）將圓的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）若點P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D．解不等式|2x-1|＜|x|+1．

Answer 1

【答案】分析：A：連接AC．因為EA切⊙O于A，所以∠EAB=∠ACB．因為弧AB=弧AD，所以AB=AD．∠EAB=∠ACD．由題設條件推導出△ABE∽△CDA，從而證明出AB²=BE•CD．
B：依題意得由，得|M|=1，故，再由矩陣方程能求出點A的坐標．
C：（1）ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，轉換得x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）圓的參數方程為，由此能求出x+y的最大值和最小值．
D：當x＜0時，x不存在；當時，解得；當，解得，由此能得到原不等式的解集．
解答：A 證明：連接AC．
因為EA切⊙O于A，所以∠EAB=∠ACB．
因為弧AB=弧AD，所以∠ACD=∠ACB，AB=AD．
于是∠EAB=∠ACD．
又四邊形ABCD內接于⊙O，所以∠ABE=∠D．
所以△ABE∽△CDA．
于是，即AB•DA=BE•CD
所以AB²=BE•CD．

B 解：依題意得
由，得|M|=1，故，
從而由得
故即A（2，-3）為所求．

C 解：（1）ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，轉換得x²+y²-4x-4y+6=0．
（2）圓的參數方程為（α∈R），
所以，那么x+y的最大值為6，最小值為2．

D 解：當x＜0時，原不等式可化為-2x+1＜-x+1，解得x＞0
又∵x＜0，∴x不存在；
當0≤x＜時，原不等式可化為-2x+1＜x+1，解得x＞0
又∵0≤x＜，∴0＜x＜；當x≥，∴≤x＜2
綜上，原不等式的解集為{x|0＜x＜2}．
點評：本題考查二階行列式、圓的性質、極坐標和含絕對值的不等式，解題時要注意公式的靈活運用．