Question

設函數f（x）是定義在R上的奇函數，對任意實數x有f(

3

2

+x)=-f(

3

2

-x)成立．
（1）證明y=f（x）是周期函數，并指出其周期；
（2）若f（1）=2，求f（2）+f（3）的值；
（3）若g（x）=x²+ax+3，且y=|f（x）|•g（x）是偶函數，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）利用函數周期性的定義證明f（x+3）=f（x）．
（2）利用函數的周期性和奇偶性，直接帶入求解．
（3）利用函數是偶函數建立方程關系進行求解．

解答：解（1）由f(

3

2

+x)=-f(

3

2

-x)，且f（-x）=-f（x）知f(3+x)=f[

3

2

+(

3

2

+x)]=-f[

3

2

-(

3

2

+x)]=-f(-x)=f(x)，所以y=f（x）是周期函數，且T=3是其一個周期．
（2）因為f（x）為定義在R上的奇函數，所以f（0）=0，且f（-1）=-f（1）=-2，
又T=3是y=f（x）的一個周期，所以f（2）+f（3）=f（-1）+f（3）=-2+0=-2；
（3）因為y=|f（x）|•g（x）是偶函數，且可證明y=|f（x）|是偶函數，
所以g（x）=x²+ax+3為偶函數，即g（-x）=g（x）恒成立．
于是（-x）²+a（-x）+3=x²+ax+3恒成立，
于是2ax=0恒成立?a=0，
所以a=0為所求．

點評：本題主要考查函數周期性，奇偶性的應用，要求熟練掌握函數性質的綜合應用．