Question

（2011•晉中三模）棱長為

3

的正四面體，其內切球（切于各個面）的體積為（　　）

• A．

  9

  2

  π
• B．

  9

  8

  2

  π
• C．

  2

  24

  π
• D．

  6

  216

  π

Answer 1

分析：作出正四面體的圖形，球的球心位置，說明OE是內切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內切球的半徑，從而利用球的體積公式求內切球的體積即可．

解答：解：如圖O為正四面體ABCD的內切球的球心，設正四面體的棱長為a，
由題意知a=

3

；連接AE并延長與底面相交于E，E是三角形BCD的中心，
則OE為內切球的半徑，BF=AF=

3 a

2

，
BE=

2

3

BF=

3 a

3

，所以AE=

a2-( 3 a 3 )2

=

6

3

a，
又BO²-OE²=BE²，即
(

6 a

3

-OE)2-OE2=(

3 a

3

)2
所以 OE=

6

12

a=

6

12

× 

3

=

2

4

，
球的體積為：

4

3

π•OE³=

4

3

 π×(

2

4

)3=

2

24

π．
故選C．

點評：本題考查正四面體的內切球的體積，是一道典型題目，考試常考題，考查空間想象能力，計算能力，是基礎題．