Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠B=30°，c=6，記b=f（a），若函數g（a）=f（a）-k（k是常數）只有一個零點，則實數k的取值范圍是（　　）

A．{k|0＜k≤3或k=6}

B．{k|3≤k≤6}

C．{k|k≥6}

D．{k|k≥6或k=3}

Answer 1

分析：由余弦定理可得 b=f（a）的解析式，利用二次函數的性質可得f（a）的最小值為3，f（a）的增區間為[3

3

，+∞），
減區間為（0，3

3

），且f（0）趨于6，由此可得實數k的取值范圍．

解答：解：在△ABC中，∠B=30°，c=6，記b=f（a），
而由余弦定理可得 b=

a2+c2-2ac•cosB

=

a2+36-12a• 3 2

 
=

(a-3 3 )2+9

≥3，即f（a）的最小值為3．
由于函數g（a）=f（a）-k（k是常數）只有一個零點，故方函數y=f（a）與直線y=k有唯一交點，
由于函數f（a）的增區間為[3

3

，+∞），減區間為（0，3

3

），且f（0）趨于6，
結合函數b=f（a）的圖象可得 k≥6，或k=3，
故選D．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，二次函數的性質應用，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．