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精英家教網(wǎng)有一展館形狀是邊長為2的等邊三角形ABC,DE把展館分成上下兩部分面積比為1:2(如圖所示),其中D在AB上,E在AC上.
(1)若D是AB中點(diǎn),求AE的值;
(2)設(shè)AD=x,ED=y.(ⅰ)求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式;(ⅱ)若DE是消防水管,為節(jié)約成本,希望它最短,DE的位置應(yīng)在哪里?若DE是參觀線路,則希望它最長,DE的位置又應(yīng)在哪里?請給以說明.
分析:(1)根據(jù)題意可得S△ADE=
1
3
S△ABC
,再由△ABC是等邊三角形且D是AB中點(diǎn),利用三角形的面積公式建立關(guān)于AD、AE的等式,解之可得AE=
4
3

(2)(i)在△ADE中,根據(jù)余弦定理建立y2關(guān)于x2的等式,兩邊開方可得用x表示y的函數(shù)關(guān)系式,再由AE≤2算出
2
3
≤x≤2
,可得此函數(shù)的定義域;
(ⅱ)若DE是消防水管,則根據(jù)基本不等式加以計(jì)算,可得當(dāng)AE=
2
3
3
時(shí)消防水管路線最短為
2
3
3
;若DE是參觀線路,利用函數(shù)的單調(diào)性的定義加以證明,可得函數(shù)y=
x2+
16
9x2
-
4
3
在區(qū)間[
2
3
2
3
3
]上為減函數(shù),在區(qū)間[
2
3
3
,2]上為增函數(shù),由此可得當(dāng)x=
2
3
或x=2
時(shí)DE最長,進(jìn)而得到此時(shí)D、E兩點(diǎn)的位置.
解答:解:(1)根據(jù)題意,可得S△ADE=
1
3
S△ABC=
1
3
1
2
22•sin60°=
3
3

S△ADE=
1
2
AD•AE•sin60°
,∴AD•AE=
4
3

又∵D是AB中點(diǎn),可得AD=1,
AD•AE=AE=
4
3
,即AE的值為
4
3

(2)∵AD•AE=
4
3
,∴AE=
4
3AD
=
4
3x

又∵AE≤2,∴0<
4
3x
≤2,解得x≥
2
3
,可得
2
3
≤x≤2

△ADE中,根據(jù)余弦定理,
可得y2=DE2=AD2+AE2-2AD•AE•cos60°=x2+
16
9x2
-
4
3

y=
x2+
16
9x2
-
4
3
,x∈[
2
3
,2]

①若DE是消防水管,則y=
x2+
16
9x2
-
4
3
2•
x2
16
9x2
-
4
3
=
2
3
3

當(dāng)且僅當(dāng)x2=
4
3
,即x=
2
3
3
,等號(hào)成立.
此時(shí)AE=
2
3
3
,故DE∥BC,且消防水管路線最短為DE=
2
3
3

②若DE是參觀線路,令x2=t,t∈[
4
9
,4],y=
t+
16
9t
-
4
3
,設(shè)f(t)=t+
16
9t

可以證明f(t)在[
4
9
4
3
]
是減函數(shù):
設(shè)
4
9
t1t2
4
3
,則f(t1)-f(t2)=(t1-t2)+
16
9
(
1
t1
-
1
t2
)=(t1-t2)•
(t1t2-
16
9
)
t1t2

4
9
t1t2
4
3
,可得t1-t2<0,t1t2
16
9

∴f(t1)-f(t2)>0,得f(t1)>f(t2),
∴f(t)在[
4
9
4
3
]
是減函數(shù),同理可證f(t)在[
4
3
,4]
是增函數(shù).
因此,f(t)的最大值為f(
4
9
)、f(4)
二者中較大的值,
f(
4
9
)=f(4)=
40
9
,∴ymax=
40
9
-
4
3
=
2
7
3

此時(shí)x=
2
3
或x=2
.當(dāng)x=
2
3
時(shí),AE=2;當(dāng)x=2時(shí),AE=
2
3

綜上所述,當(dāng)D為AB的靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)且E與C重合;或E為靠近A的AC的一個(gè)三等分點(diǎn)且D與B重合時(shí),
參觀線路DE最長,最長路線為
2
7
3
點(diǎn)評(píng):本題給出實(shí)際應(yīng)用問題,求消防水管路線的最小值與參觀路線的最大值.著重考查了利用正余弦定理解三角形、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、利用基本不等式求最值和三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用等知識(shí),屬于中檔題.
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