Question

有一展館形狀是邊長為2的等邊三角形ABC，DE把展館分成上下兩部分面積比為1：2（如圖所示），其中D在AB上，E在AC上．
（1）若D是AB中點(diǎn)，求AE的值；
（2）設(shè)AD=x，ED=y．（ⅰ）求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；（ⅱ）若DE是消防水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應(yīng)在哪里？若DE是參觀線路，則希望它最長，DE的位置又應(yīng)在哪里？請給以說明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得S△ADE=

1

3

S△ABC，再由△ABC是等邊三角形且D是AB中點(diǎn)，利用三角形的面積公式建立關(guān)于AD、AE的等式，解之可得AE=

4

3

；
（2）（i）在△ADE中，根據(jù)余弦定理建立y²關(guān)于x²的等式，兩邊開方可得用x表示y的函數(shù)關(guān)系式，再由AE≤2算出

2

3

≤x≤2，可得此函數(shù)的定義域；
（ⅱ）若DE是消防水管，則根據(jù)基本不等式加以計(jì)算，可得當(dāng)AE=

2 3

3

時(shí)消防水管路線最短為

2 3

3

；若DE是參觀線路，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義加以證明，可得函數(shù)y=

x2+ 16 9x2 - 4 3

在區(qū)間[

2

3

，

2

3

3

]上為減函數(shù)，在區(qū)間[

2

3

3

，2]上為增函數(shù)，由此可得當(dāng)x=

2

3

或x=2時(shí)DE最長，進(jìn)而得到此時(shí)D、E兩點(diǎn)的位置．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可得S△ADE=

1

3

S△ABC=

1

3

•

1

2

•22•sin60°=

3

3

，
∵S△ADE=

1

2

AD•AE•sin60°，∴AD•AE=

4

3

，
又∵D是AB中點(diǎn)，可得AD=1，
∴AD•AE=AE=

4

3

，即AE的值為

4

3

；
（2）∵AD•AE=

4

3

，∴AE=

4

3AD

=

4

3x

，
又∵AE≤2，∴0＜

4

3x

≤2，解得x≥

2

3

，可得

2

3

≤x≤2．
△ADE中，根據(jù)余弦定理，
可得y2=DE2=AD2+AE2-2AD•AE•cos60°=x2+

16

9x2

-

4

3

∴y=

x2+ 16 9x2 - 4 3

，x∈[

2

3

，2]
①若DE是消防水管，則y=

x2+ 16 9x2 - 4 3

≥

2• x2• 16 9x2 - 4 3

=

2 3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)x2=

4

3

，即x=

2 3

3

，等號(hào)成立．
此時(shí)AE=

2 3

3

，故DE∥BC，且消防水管路線最短為DE=

2 3

3

；
②若DE是參觀線路，令x2=t，t∈[

4

9

，4]，y=

t+ 16 9t - 4 3

，設(shè)f(t)=t+

16

9t

，
可以證明f（t）在[

4

9

，

4

3

]是減函數(shù)：
設(shè)

4

9

≤t1＜t2≤

4

3

，則f(t1)-f(t2)=(t1-t2)+

16

9

(

1

t1

-

1

t2

)=(t1-t2)•

(t1t2- 16 9 )

t1t2

，
∵

4

9

≤t1＜t2≤

4

3

，可得t1-t2＜0，t1t2＜

16

9

，
∴f（t₁）-f（t₂）＞0，得f（t₁）＞f（t₂），
∴f（t）在[

4

9

，

4

3

]是減函數(shù)，同理可證f（t）在[

4

3

，4]是增函數(shù)．
因此，f（t）的最大值為f(

4

9

)、f(4)二者中較大的值，
∵f(

4

9

)=f(4)=

40

9

，∴ymax=

40 9 - 4 3

=

2 7

3

，
此時(shí)x=

2

3

或x=2．當(dāng)x=

2

3

時(shí)，AE=2；當(dāng)x=2時(shí)，AE=

2

3

．
綜上所述，當(dāng)D為AB的靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)且E與C重合；或E為靠近A的AC的一個(gè)三等分點(diǎn)且D與B重合時(shí)，
參觀線路DE最長，最長路線為

2 7

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出實(shí)際應(yīng)用問題，求消防水管路線的最小值與參觀路線的最大值．著重考查了利用正余弦定理解三角形、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、利用基本不等式求最值和三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．