Question

定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓．
（1）若橢圓，判斷C₂與C₁是否相似？如果相似，求出C₂與C₁的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓C_b的方程；若在橢圓C_b上存在兩點M、N關于直線y=x+1對稱，求實數b的取值范圍？
（3）如圖：直線l與兩個“相似橢圓”和分別交于點A，B和點C，D，證明：|AC|=|BD|

Answer 1

【答案】分析：（1）分別求出特征三角形是腰長為a 和底邊長為2c，從而得到橢圓的相似比．
（2）設出橢圓C_b的方程，直線l_MN的方程，根據兩點關于直線對稱的性質，求出直線l_MN的方程，根據直線l_MN與橢圓C_b有兩個不同的交點，判別式大于零，求得實數b的取值范圍．
（3）直線l與x軸垂直時，易得線段AB與CD的中點重合；直線l不與x軸垂直時，設出直線l的方程，聯立直線方程與橢圓方程分別求出線段AB與CD的中點，得到中點坐標相同即可說明結論．
解答：解：（1）橢圓C₂與C₁相似．-------------------（2分）
因為橢圓C₂的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，而橢圓C₁的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為2：1-------------------（4分）
（2）橢圓C_b的方程為：-------------------（6分）
設l_MN：y=-x+t，點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點為（x，y），
則，所以5x²-8tx+4（t²-b²）=0-------------------（8分）
則-------------------（9分）
因為中點在直線y=x+1上，所以有，-------------------（10分）
即直線l_MN的方程為：，
由題意可知，直線l_MN與橢圓C_b有兩個不同的交點，
即方程有兩個不同的實數解，
所以，即-------------------（12分）
（3）證明：
①直線l與x軸垂直時，易得線段AB與CD的中點重合，所以|AC|=|BD|；-------------------（14分）
②直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為：y=kx+n，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
線段AB的中點（x，y），-------（15分）⇒線段AB的中點為----------（16分）
同理可得線段CD的中點為，-------------------（17分）
即線段AB與CD的中點重合，所以|AC|=|BD|-------------------（18分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，兩點關于直線對稱的性質，求直線MN的方程是解決第二問的關鍵，而第三問的關鍵在于分析出：線段AB與CD的中點重合⇒|AC|=|BD|．