Question

已知數列．
（I）設，證明：數列{b_n}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（II）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（III）設對一切正整數n均成立，并說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵=，
∴{b_n}為等差數列，公差為1．
又b₁=0，∴b_n=n-1，∴． …（4分）
（Ⅱ）解：設，則
3．∴．
∴．
∴．…（8分）
（Ⅲ）解：由已知得，從而求得
猜測C₁最大，下證：
∵=，
∴存在k=1，使得C_n≤C_k對一切正整數n均成立． …（12分）
分析：（Ⅰ），利用等差數列的定義，即可證明{b_n}為等差數列，公差為1，由此可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法及等比數列的求和公式，即可求得結論；
（Ⅲ）根據通項計算前幾項，猜測C₁最大，再進行證明．
點評：本題考查等差數列的定義，考查錯位相減法求和，考查恒成立問題，正確運用求和是關鍵．