Question

（2012•北京）已知函數f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx．
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處有公共切線，求a，b的值；
（2）當a=3，b=-9時，函數f（x）+g（x）在區間[k，2]上的最大值為28，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，可知切點處的函數值相等，切點處的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）當a=3，b=-9時，設h（x）=f（x）+g（x）=x³+3x²-9x+1，求導函數，確定函數的極值點，進而可得k≤-3時，函數h（x）在區間[k，2]上的最大值為h（-3）=28；-3＜k＜2時，函數h（x）在在區間[k，2]上的最大值小于28，由此可得結論．

解答：解：（1）f（x）=ax²+1（a＞0），則f'（x）=2ax，k₁=2a，g（x）=x³+bx，則g'（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）為公共切點，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：a=3，b=3．
（2）當a=3，b=-9時，設h（x）=f（x）+g（x）=x³+3x²-9x+1
則h′（x）=3x²+6x-9，令h'（x）=0，解得：x₁=-3，x₂=1；
∴k≤-3時，函數h（x）在（-∞，-3）上單調增，在（-3，2]上單調減，所以在區間[k，2]上的最大值為h（-3）=28
-3＜k＜2時，函數h（x）在在區間[k，2]上的最大值小于28
所以k的取值范圍是（-∞，-3]

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，解題的關鍵是正確求出導函數．