Question

（本題滿分12分）如圖，在平面直坐標(biāo)系中，已知橢圓，經(jīng)過點(diǎn)，其中e為橢圓的離心率．且橢圓與直線 有且只有一個(gè)交點(diǎn)。

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線與橢圓相交與A，B兩點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在橢圓上，直線平分線段，求：當(dāng)的面積取得最大值時(shí)直線的方程。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

試題分析：（Ⅰ）∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，∴又，
∴，∴  
∴橢圓的方程為…………………………………………2分
又∵橢圓與直線 有且只有一個(gè)交點(diǎn)
∴方程即有相等實(shí)根
∴    ∴ 
∴橢圓的方程為………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓的方程為 故
設(shè)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線的方程交橢圓于
由得    ……………………………6分
∴  ………………7分       

直線方程為且平分線段 
∴=解得 ……………………………………………8分
∴
又∵點(diǎn)到直線的距離 
∴…………………………………………9分
設(shè)    
由直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)可得
求導(dǎo)可得，此時(shí)取得最大值
此時(shí)直線的方程……………………………………………12分
點(diǎn)評(píng)：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解析幾何的基本問題，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系問題，常常運(yùn)用韋達(dá)定理，本題屬于中檔題。