Question

出于應用方便和數學交流的需要，我們教材定義向量的坐標如下：取

e1

和

e2

為直角坐標第xOy中與x軸和y軸正方向相同的單位向量，根據平面向量基本定理，對于該平面上的任意一個向量

a

，則存在唯一的一對實數λ，μ，使得

a

=λ

e1

+μ

e2

，我們就把實數對（λ，μ）稱作向量

a

的坐標．并依據這樣的定義研究了向量加法、減法、數乘向量及數量積的坐標運算公式．現在我們用

i

和

j

表示斜坐標系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，其中＜

i

，

j

＞=

π

3

，
（1）請你模仿直角坐標系xOy中向量坐標的定義方式，用向量

i

和

j

做基底向量定義斜坐標系x‘Oy’平面上的任意一個向量

a

的坐標；
（2）在（1）的基礎上研究斜坐標系x‘Oy’中向量的加法、減法、數乘向量及數量積的坐標運算公式．

Answer 1

分析：（1）用

i

和

j

表示斜坐標系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，對于平面向量

a

，存在唯一的實數對p，q，使得

a

=p

i

+q

j

，定義數對（p，q）為向量

a

在斜坐標系下的坐標．
（2）設出兩個向量的坐標，模仿直角坐標系中兩個向量的加法，減法，數乘和數量積寫出來，只是在兩個向量數量積的運算中，注意應用數量積的運算律．

解答：解：（1）根據平面向量基本定理，用

i

和

j

表示斜坐標系x‘Oy’中與x‘軸和y軸正方向相同的單位向量，
對于平面向量

a

，存在唯一的實數對p，q，使得

a

=p

i

+q

j

，定義數對（p，q）為向量

a

在斜坐標系下的坐標．
（2）設

a

，

b

在斜坐標系中的坐標分別為（a₁，b₁），（a₂，b₂），
那么

a

+

b

=（a₁+a₂，b₁+b₂）

a

-

b

=（a₁-a₂，b₁-b₂）
λ

a

=（λa₁，λb₁）

a

•

b

=a₁a₂+b₁b₂+

1

2

(a1b2+b1a2)

點評：本題考查平面向量正交分解的應用，考查一個新定義問題，考查兩個向量的四則運算，考查學生的理解能力和應變能力，是一個比較好的題目．