Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足2cos²（A+B）=2cosC+cos2C．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面積為S=4

3

（3），求a+b的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用cos（A+B）=cosC，代入題設等式，進而利用二倍角公式化簡整理求得cosC的值，進而求得C．
（2）先根據三角形面積公式求得ab的值，進而利用均值不等式求得a+b的最小值．

解答：解：（1）∵2cos²（A+B）=2cosC+cos2C
∴2cos²C=2cosC+cos2C
∴cos2C+1=2cosC+cos2C
∴cosC=

1

2

∴C=

π

3

（2）∵S=

1

2

absinC
∴4

3

=

1

2

ab

3

2

∴ab=16
又∵a＞0，b＞0
∴a+b≥2

ab

∴a+b≥8
當且僅當a=b=4時，等號成立
∴a+b的最小值為8

點評：本題主要考查了同角三角函數基本關系的應用和基本不等式的應用．在應用均值不等式時要注意等號成立的條件．