Question

設函數（其中），且方程的兩個根分別為、.
（1）當且曲線過原點時，求的解析式；
（2）若在無極值點，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）實數的取值范圍是.

試題分析：（1）先將代入函數的解析式，利用“曲線過原點”先求出的值，然后求出二次函數的解析式，利用“、為二次方程的兩個根”并結合韋達定理求出、的值，最終確定函數的解析式；（2）先利用“、為二次方程的兩個根”并結合韋達定理確定、與的關系，然后求出，對與進行分類討論，將在無極值點進行轉化，對進行檢驗；當時，得到，從而求出實數的取值范圍.
試題解析：（1）當時，，
由于曲線過原點，則有，，
，令，
由題意知，、是二次函數的兩個零點，由韋達定理得，
，；
（2），
由于、是二次函數的兩個零點，由韋達定理得，，
解得，，，
，
當時，，令，解得，當時，，當，，
此時為函數的極小值點，不合乎題意；
故，由于函數在無極值點，則，
即，化簡得，解得，
故實數的取值范圍是.