Question

已知函數f(x)的導數f′(x)＝3x²－3ax，f(0)＝b，a，b為實數，1<a<2.

(1)若f(x)在區間[－1,1]上的最小值、最大值分別為－2、1，求a、b的值；

(2)在(1)的條件下，求經過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程；

(3)設函數F(x)＝[f′(x)＋6x＋1]·e^2x，試判斷函數F(x)的極值點個數.

Answer 1

(1)由已知得，f(x)＝x³－ax²＋b，由f′(x)＝0，得x₁＝0，x₂＝a.

∵x∈[－1,1]，1<a<2，∴當x∈[－1,0)時，f′(x)>0，f(x)遞增；當x∈(0,1]時，f′(x)<0，f(x)遞減，∴f(x)在區間[－1,1]上的最大值為f(0)＝b，

∴b＝1.

又f(1)＝1－a＋1＝2－a，f(－1)＝－1－a＋1＝－a，∴f(－1)<f(1).

由題意得f(－1)＝－2，即－a＝－2，得a＝，故a＝，b＝1為所求.

(2)由(1)得f(x)＝x³－2x²＋1，f′(x)＝3x²－4x，點P(2,1)在曲線f(x)上.

①當切點為P(2,1)時，切線l的斜率k＝f′(x)|_x＝2＝4，

∴l的方程為y－1＝4(x－2)，即4x－y－7＝0.

②當點P不是切點時，設切點O(x₀，y₀)(x₀≠2)，切線l的斜率

k＝f′(x)|x＝x₀＝3x－4x₀，

∴l的方程為y－y₀＝(3x－4x₀)(x－x₀)，

又點P(2,1)在l上，∴1－y₀＝(3x－4x₀)(2－x₀)，

∴1－(x－2x＋1)＝(3x－4x₀)(2－x₀)，

∴x(2－x₀)＝(3x－4x₀)(2－x₀)，

∴x＝3x－4x₀，即2x₀(x₀－2)＝0，

∴x₀＝0，∴切線l的方程為y＝1.

故所求切線l的方程為4x－y－7＝0或y＝1.

(3)F(x)＝(3x²－3ax＋6x＋1)·e^2x＝[3x²－3(a－2)x＋1]·e^2x，

∴F′(x)＝[6x－3(a－2)]·e^2x＋2[3x²－3(a－2)x＋1]·e^2x＝[6x²－6(a－3)x＋8－3a]·e^2x.

二次函數y＝6x²－6(a－3)x＋8－3a的判別式為

Δ＝36(a－3)²－24(8－3a)＝12(3a²－12a＋11)＝12[3·(a－2)²－1]，令Δ≤0，得：(a－2)²≤，2－≤a≤2＋，令Δ>0時，得a<2－或a>2＋.

∵e^2x>0,1<a<2，∴當2－≤a<2時，F′(x)≥0，函數F(x)為單調遞增函數，極值點個數為0；

當1<a<2－時，此時方程F′(x)＝0有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，可知函數F(x)有兩個極值點.