Question

已知M、N兩點的坐標分別是M(1+cos2x,1)、N(1,sin2x+a)(x,a∈R,a是常數),令f(x)=·(O是坐標原點).

(1)求函數f(x)的解析式,并求函數f(x)在［0,π］上的單調遞增區間;

(2)當x∈［0,］時,f(x)的最大值為4,求a的值,并說明此時f(x)的圖象可由函數y=2sin(x+)的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換而得到.

Answer 1

解:(1)y=·=1+cos2x+sin2x+a,

∴f(x)=1+cos2x+3sin2x+a=2sin(2x+)+a+1.

由2kπ-≤2x+≤2kπ+,得kπ≤x≤kπ+,k∈Z.

∴f(x)在［0,π］上的單調遞增區間為［0,］和［,π］.

(2)f(x)=2sin(2x+)+a+1,x∈［0, ］,2x+∈［,］,2sin(2x+)∈［-1,2］,

∴當x=時,f(x)取最大值a+3=4.解得a=1,f(x)=2sin(2x+)+2.

將y=2sin(x+)的圖象上的每一點的橫坐標縮短到原來的一半,縱坐標保持不變,再向上平移2個單位長度,得f(x)=2sin(2x+)+2的圖象.