Question

為了保護環境，某工廠在政府部門的支持下，進行技術改進：把二氧化碳轉化為某種化工產品，經測算，該處理成本y（萬元）與處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為：，且每處理一噸二氧化碳可得價值為20萬元的某種化工產品．
（Ⅰ）當x∈[30，50]時，判斷該技術改進能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補貼多少萬元，該工廠才不虧損？
（Ⅱ） 當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少．

Answer 1

解：（Ⅰ）當x∈[30，50]時，設該工廠獲利為S，則S=20x-（x²-40x+1600）=-（x-30）²-700
所以當x∈[30，50]時，S＜0，因此，該工廠不會獲利，所以國家至少需要補貼700萬元，才能使工廠不虧損
（Ⅱ）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為：
①當x∈[10，30）時，P（x）=，∴P′（x）==
∴x∈[10，20）時，P′（x）＜0，P（x）為減函數；x∈（20，30）時，P′（x）＞0，P（x）為增函數，
∴x=20時，P（x）取得最小值，即P（20）=48；
②當x∈[30，50]時，P（x）=-40≥-40=40
當且僅當x=，即x=40∈[30，50]時，P（x）取得最小值P（40）=40
∵48＞40，
∴當處理量為40噸時，每噸的平均處理成本最少．
分析：（Ⅰ）利用每處理一噸二氧化碳可得價值為20萬元的某種化工產品，及處理成本y（萬元）與處理量x（噸）之間的函數關系，可得利潤函數，利用配方法，即可求得結論；
（Ⅱ）求得二氧化碳的每噸平均處理成本函數是分段函數，再分段求出函數的最值，比較其大小，即可求得結論．
點評：本題考查函數模型的構建，考查函數最值的求解，正確運用求函數最值的方法是關鍵．