Question

（本題滿分16分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分8分.
已知雙曲線設(shè)過點(diǎn)的直線l的方向向量
（1）      當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；
（2）      證明：當(dāng)>時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為.

Answer 1

（1）雙曲線C的漸近線，即          …… 2分
直線的方程                                  …… 6分
直線與m的距離                               …… 8分
（2）設(shè)過原點(diǎn)且平行于的直線
則直線與的距離，
當(dāng)時(shí)，.                                 …… 12分
又雙曲線C的漸近線為，
雙曲線C的右支在直線的右下方，
雙曲線C的右支上的任意點(diǎn)到直線的距離大于.      
故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q到到直線的距離為  …… 16分
假設(shè)雙曲線C右支上存在點(diǎn)Q到到直線的距離為 ，

（2）

則，  （1）

由（1）得，                     …… 11分
設(shè)
當(dāng)時(shí)，：
              …… 13分
將代入（2）得，
，

故在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q到到直線的距離為  …… 16分

⑴中知道雙曲線的方程可以求出漸近線方程，因?yàn)橹本�l和漸近線平行，所以可以確定l的方程，直線l與m方程確定，可以利用兩條平行線間的距離公式求出距離.⑵是一個(gè)存在性問題，可以尋找參考對象，也可用反證法.