Question

如圖，正四棱柱中，底面邊長為2，側棱長為3，E為BC的中點，F、G分別為、上的點，且CF=2GD=2.求：

（1）到面EFG的距離；

（2）DA與面EFG所成的角的正弦值；

（3）在直線上是否存在點P，使得DP//面EFG?,若存在，找出點P的位置，若不存在，試說明理由。

 

Answer 1

【答案】

1）（2）=  （3）DP//面EFG

【解析】本試題主要是考查了空間幾何體中點到面的距離，以及線面角的求解，和線面平行的判定的綜合運用。

（1）合理的建立空間直角坐標系，利用向量在法向量上的投影得到點C‘到面EFG的距離；

（2）而對于線面角，DA與面EFG所成的角的正弦值則可以利用斜向量與法向量的關系，運用數量積的夾角公式得到。

（3）假設在直線BB’上是否存在點P，使得DP//面EFG，根據假設推理論證得到點P的坐標。解：如圖，以D為原點建立空間直角坐標系

 

則E(1，2，0)，F（0，2，2），G（0，0，1）∴=（－1，0，2），=（0，－2，－1），

設=（x，y，z）為面EFG的法向量，則=0，=0，x=2z，z=-2y，取y=1，

得=（－4，1，－2）

（1）∵=（0，0，－1），∴C^’到面EFG的距離為 

（2）=（2，0，0），設DA與面EFG所成的角為θ，則= 

（3）存在點P，在B點下方且BP=3，此時P(2，2，－3)=(2，2，－3)，∴=0，∴DP//面EFG