Question

根據下列條件，求拋物線的標準方程
（1）頂點在原點，對稱軸是y軸，并經過點P（-6，-3）．
（2）拋物線y²=2px（p＞0）上有一點M，其橫坐標為8，它到焦點的距離為9．
（3）拋物線y²=2px（p＞0）上的點到定點（1，0）的最近距離為

p

2

．

Answer 1

分析：（1）依題意，設出該拋物線的方程為x²=-2py（p＞0），將P（-6，-3）代入求得p即可；
（2）利用拋物線的定義，將點M到焦點的距離為9，轉化為它到準線的距離為9即可求得p；
（3）依題意，可求得p=2，從而可得答案．

解答：解：（1）依題意，設該拋物線的方程為x²=-2py（p＞0），
將P（-6，-3）代入x²=-2py（p＞0），得36=-2p×（-3），
解得p=6，
∴拋物線的標準方程為x²=-12y．
（2）依題意，作圖如下：
設點M在拋物線y²=2px（p＞0）的準線x=-

p

2

上的射影為M′，
由拋物線的定義得，|MM′|=|MF|=9，又|MM′|=8-（-

p

2

），
∴8-（-

p

2

）=9，
解得p=2，
∴拋物線的標準方程為y²=4x．
（3）設拋物線y²=2px（p＞0）上的點M（x，y）到定點（1，0）的距離為d，
則d²=g（x）=（x-1）²+y²
=（x-1）²+2px
=x²+（2p-2）x+1
=[x+（p-1）]²+1-（p-1）²，
若p-1≥0，則當x=0時，d²取到最小值1，又拋物線y²=2px（p＞0）上的點到定點（1，0）的最近距離為

p

2

，
∴d²=

p2

4

=1，而p＞0，
∴p=2；
若p-1＜0，p＜1時，d²=g（x）=[x+（p-1）]²+1-（p-1）²在x=1-p（二次函數的對稱軸）時取到最小值，
即d²=g（1-p）=1-（p-1）²=

p2

4

，
整理得：

5p2

4

-2p=0，解得p=

8

5

，與p＜1矛盾，故p=

8

5

不符合題意．
綜上所述，p=2，
∴拋物線的標準方程為y²=4x．

點評：本題考查拋物線的標準方程，熟悉拋物線的四種形式的標準方程，掌握其性質是解決問題的關鍵，屬于中檔題．