Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F是PC中點，G為AC上一點．

（1）求證：BD⊥FG；

（2）確定點G在線段AC上的位置，使FG//平面PBD，并說明理由．

（3）當二面角B—PC—D的大小為時，求PC與底面ABCD所成角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據題意，由于面ABCD，四邊形ABCD是正方形，結合其性質可知PA⊥BD，AC⊥BD，進而得到證明。

（2）當G為EC中點    （3）

【解析】

試題分析：解：方法一：（I）面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

其對角線BD，AC交于點E，∴PA⊥BD，AC⊥BD   

∴BD⊥平面APC，平面PAC，

∴BD⊥FG        3分

（II）當G為EC中點，即時，FG//平面PBD， 4分

理由如下：

連接PE，由F為PC中點，G為EC中點，知FG//PE，

而FG平面PBD，PB平面PBD， 故FG//平面PBD．    7分

（III）作BH⊥PC于H，連結DH，

∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，

∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，

∴△PCB≌△PCD，

∴DH⊥PC，且DH=BH，

∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角，    9分

即

∵PA⊥面ABCD，

∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角   10分

連結EH，則

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是…………12分

方法二解：以A為原點，AB，AD，PA所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，

設正方形ABCD的邊長為1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）,

（I）

    …………3分

（II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP，

而，

由可得，解得

    …………6分

故當時，FG//平面PBD …………7分

設平面PBC的一個法向量為

則，而

，取z=1，得，

同理可得平面PBC的一個法向量

設所成的角為0，

則

即

        …………10分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC與底面ABCD所成的角，

      

∴PC與底面ABCD所成角的正切值是…………12分

考點：空間中的線面角以線線垂直的證明

點評：主要是考查了空間中的線線以及線面的位置關系的運用，以及線面角的求解，屬于中檔題。