Question

已知函數f（x）=

x-2

ax+1

(a＞1，x∈R，x≠-

1

a

)；
（1）試問：該函數的圖象上是否存在不同的兩點，它們的函數值相同，請說明理由；
（2）若函數F（x）=a^x+f（x），試問：方程F（x）=0有沒有負根，請說明理由．
（3）記G（x）=|a^x-b|-b•a^x，（x∈R），若G（x）有最小值，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）令f（x₁）=f（x₂）

x1-2

ax1+1

=

x2-2

ax2+1

化簡得：（2a+1）（x₁-x₂）=0
因為a＞1．所以等式成立的唯一條件是：x₁=x₂．
∴函數的圖象上不存在不同的兩點，它們的函數值相同
（2）F（x）=a^x+f（x）=a^x

x-2

ax+1

a＞1，所以a^x在區間（-∞，0]上為增函數，而f（x）在區間（-∞，0]上也是增函數．
根據函數單調性的性質：在同一單調區間內增函數+增函數，還是增函數．
可得函數F（x）=a^x+f（x）在區間（-∞，0]上為增函數
又因為F（0）=-1
所以當x＜0時，f（x）＜-1
所以就不存在x＜0，使得f（x）=0．
即方程F（x）=0沒有負根
（3）a^x＞0，
如果b＜0，則：g（x）=（1-b）a^x-b，為單調遞增函數，無最小值．
如果b≥0，則：
當a^x＞b時，g（x）=（1-b）a^x-b，
當a^x＜b時，g（x）=-（1+b）a^x+b，
因為在兩個開區間內，g（x）都是單調函數．
所以，要取得最小值的條件是，g（x）在（-∞，b]為減函數，在[b，+∞）為增函數．
所以：
1-b＞0
-（1+b）＜0
又∵b≥0
解得：0≤b＜1