Question

（21）

已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為4.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)直線l過點P(0，2)且與橢圓相交于A、B兩點，當ΔAOB面積取得最大值時，求直線l的方程.

Answer 1

    設橢圓方程為＝1(a＞b＞0)．

   

(Ⅰ)由已知得.

    ∴所求橢圓方程為+y²=1．

(Ⅱ)解法一：由題意知直線l的斜率存在，

    設直線l的方程為y=kx+2，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

    由，消去y得關于x的方程：

    (1+2k²)x²+8kx+6＝0，

    由直線l與橢圓相交于A、B兩點，∴△＞0  64k²-24(1+2k²)＞0，

    解得  k²＞，

    又由韋達定理得   

    ∴|AB|＝|x₁-x₂|＝

         ＝

    原點O到直線l的距離d=.

    ∴S_△AOB=|AB|·d=．

    解法1：對S=兩邊平方整理得：

    4S²k⁴+4(S²-4)k²+S²+24=0                                                  (*)

    ∵S≠0，

    ∴

    整理得：S²≤.

    又S＞0，

    ∴0＜S≤.

    從而S_△AOB的最大值為S=，

    此時代入方程(*)得

    4k⁴-28k²+49＝0

    ∴k=±

    所以，所求直線方程為：±x-2y+4＝0．

    解法2：令m=(m＞0)，

    則2k²=m²+3.

    ∴S=≤.

    當且僅當m＝即m＝2時，

    S_max=.

    此時k=±.

    所以，所求直線方程為±x-2y+4＝0．

    解法二：由題意知直線l的斜率存在且不為零．

    設直線l的方程為y＝kx+2，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

    則直線l與x軸的交點D(-，0)，

    由解法一知    k²＞且    

    解法1：S_△AOB=|OD|·|y₁-y₂|=||·|kx₁+2-kx₂-2|

                ＝|x₁-x₂|

                ＝

                =

                =.

    下同解法一.

    解法2：S_△AOB=S_△POB-S_△POA=×2×||x₂|-|x₁||=|x₂-x₁|=.

    下同解法一．