Question

如圖，四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠D=∠DAB=90°，AB=4，CD=1,AD=2.

(1)建立適當的坐標系，并寫出點B、P的坐標；

(2)求異面直線PA與BC所成的角；

(3)若PB的中點為M，求證：平面AMC⊥平面PBC.

Answer 1

(1)解：建立如上圖所示的直角坐標系D—xyz,

∵∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,

∴A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0).

由PD⊥平面ABCD，得∠PAD為PA與平面ABCD所成的角.∴∠PAD=60°.

在Rt△PAD中，由AD=2，得.

∴P(0,0,).

(2)解：∵=(2,0,),=(-2,-3,0),

∴.

∴PA與BC所成的角為arccos.

(3)證明：∵M為PB的中點，

∴點M的坐標為(1,2,).

∴=(-1,2,),=(1,1,),=(2,4,).

∵=(-1)×2+2×4+×()=0,

=1×2+1×4+×()=0,

∴,.

∴PB⊥平面AMC.

又PB面PCB,

∴平面AMC⊥平面PBC.

啟示：異面直線所成角的范圍為(0,).